力学进展  2018 , 48 (0): 1810- https://doi.org/10.6052/1000-0992-16-038

Orginal Article

细胞膜间的波动力

李龙, 宋凡ɛ, 

中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室, 北京 100190, 中国科学院大学工程科学学院, 北京 100049, 工程化构建与力学生物学北京市重点实验室, 北京 100190

Undulation force between membranes

LI Long, SONG Fanɛ, 

LNM, Institute of Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China, School of Engineering Science, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China, Beijing Key Laboratory of Engineered Construction and Mechanobiology, Institute of Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China

中图分类号:  Q66,O414

文献标识码:  A

通讯作者:  ɛ E-mail:songf@lnm.imech.ac.cnɛ E-mail:songf@lnm.imech.ac.cn

收稿日期: 2016-11-17

接受日期:  2017-03-24

网络出版日期:  2017-05-24

版权声明:  2018 中国力学学会 This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited.

作者简介:

作者简介：

宋凡, 现任中国科学院力学研究所研究员, 博士生导师.主要研究方向:(1)生物软组织的力学行为及其演化; (2)生物陶瓷材料微结构和力学行为; (3)材料和结构仿生原理及应用.至今负责已完成和在研国家级科研项目10余项; 在力学和生物材料等相关领域的国际刊物上发表SCI论文60余篇, 得到包括Nature, Science等在内国际著名学术刊物引用800余次; 相关研究结果被Physical Review Focus, New Scientist和BBC的 Focus等国际刊物专题报道.

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摘要

由热扰动引起的细胞膜间的波动力调控着大量的生物功能, 如细胞黏附、细胞融合、细胞膜结合与解离的转换以及细胞膜的自组装.因此, 研究细胞膜间的波动力及其规律是生命科学研究中重要的基础之一.鉴于波动力在大量细胞进程中发挥的重要作用, 自其被提出的40年间备受关注. 然而, 作为当前的研究热点, 对于细胞膜波动力的作用规律仍存争论.本文首先简述了细胞膜间的波动力以及相关研究的发展历程; 在此基础之上, 分别对近期引发争议的两种主要的波动力理论以及目前关于波动力的最新研究进展进行了详述, 分析讨论了不同波动力理论的差异, 为后续研究提供参考借鉴; 最后, 总结和展望了该领域的研究热点以及未来研究趋势.

关键词： 细胞膜 ; 波动力 ; 热扰动 ; 统计力学

Abstract

Undulation force, originating from the thermally excited membrane fluctuations, plays a key role in regulating an astounding array of the biological functions of cells, such as cell adhesion, membrane fusion, binding-unbinding transition and membrane self-assembly. Therefore, the study on the undulation force and its laws forms a significant foundation for life science research. In view of the important role of undulation force in the regulation of cellular processes, it has been highly concerned since the concept of the undulation force was put forward in the 1970s. However, the distance dependence of the undulation force, which constitutes the most fundamental characteristics of the force, currently causes great controversy and has not been understood very well yet up to now. Here, we first overview the development of the concept of undulation force and its related research. On this basis, two controversial theories on the distance dependence of undulation force and the latest research advances are introduced in details. Furthermore, we deeply discuss the difference between the two theories, which provides a reference for further studies. Finally, we give a brief summary and prospect on current and future research focus and development trend of the undulation force.

Keywords： membranes ; thermal fluctuations ; undulation force ; statistical mechanics

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李龙, 宋凡. 细胞膜间的波动力[J]. 力学进展, 2018, 48(0): 1810- https://doi.org/10.6052/1000-0992-16-038

LI Long, SONG Fan. Undulation force between membranes[J]. Advances in Mechanics, 2018, 48(0): 1810- https://doi.org/10.6052/1000-0992-16-038

1 引言

细胞是生命的基本结构与功能单元(Boal 2012, Alberts et al. 2015).为保持相对独立性, 细胞由细胞膜包裹.作为分隔细胞内、外不同介质和组成成分的界面, 细胞膜主要由磷脂双分子重复排列而成, 即磷脂双分子层, 上面镶嵌有各种类型的蛋白质、糖类和胆固醇等(图1). 此外, 细胞膜通过膜蛋白与细胞骨架相连, 以维持细胞基本形态(Orchard & Nation 2015, Karp 2013). 具有生物学功能的细胞膜的基本功能是维持细胞本身结构的完整性, 保护细胞内部的组成成分, 为细胞的生命活动提供相对稳定的内微环境; 同时, 细胞膜是细胞与细胞、细胞与周围环境之间进行信息传递和物质交换的通道(Petty 2014, Luckey 2014).

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图1   细胞膜的结构模型

   

研究表明, 大量与细胞膜密切相关的细胞进程, 如细胞黏附(Steffen et al. 2013, Khalili & Ahmad 2015)、细胞融合(Podbilewicz 2014, Nikolaus et al. 2010)、膜间结合与解离的转变(Warner & O'Shaughnessy 2012, Burk et al. 2015)、细胞膜自组装(Ando & Skolnick 2013, Ercole et al. 2015), 在生物体的生命活动中发挥了重要的作用. 例如, 病毒感染、细胞迁移依赖于细胞黏附过程(Bhella 2014, Lee & Overholtzer 2015, Collins & Nelson 2015, Worley, Shieh & Wan 2015); 囊泡运输以及精子、卵子间的受精过程则与细胞融合息息相关(Mellman & Emr 2013, Donovan & Bretscher 2015, Maruyama et al. 2015, Inoue et al. 2015). 上述现象本质上是细胞膜间相互作用力调控的结果.因此, 对细胞膜间的相互作用力及其作用规律的研究尤为重要. 其中, 本文中"细胞膜间"以及"膜间"指的是两个独立细胞之间的膜间.作为目前的研究热点, 细胞膜间波动力的波动规律及其性质尚未完全清楚.由于上述波动力理论构成了大量与细胞膜间相互作用相关的理论研究、实验分析以及计算机模拟的基础, 因此对波动力更深层次的研究具有极其重要的意义. 鉴于此, 本文将主要从理论分析、实验测量以及计算机模拟3个方面综述波动力的相关研究进展与现状.

2 细胞膜间的相互作用力

由于细胞膜结构的多样性, 使得细胞膜间相互作用异常复杂(Leckband & Israelachvili 2001) (图2). 大量研究结果表明, 细胞膜间的相互作用力既包括吸引力, 也包括排斥力, 其主要分为两类: (1)直接相互作用力: 范德华力(van der Waals force)、静电力(electrostatic force)、水合力(hydration force)、大分子间作用力(macromolecule force) (Lybarger & Petrache 2015, Hardy et al. 2015, Schneck et al. 2012, Ohki 2012);(2)膜波动引起的相互作用力: 波动力(undulation force)、蠕动力(peristaltic force)、突出力(protrusion force)、头基重叠力(headgroup overlap force)(Schrader et al. 2015, Neu & Genin 2014, Smirnova et al. 2013, Israelachvili 2011).

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图2   细胞膜间的相互作用势(Leckband & Israelachvili 2001)

   

2.1 范德华力、静电力及水合力

研究之初, 由于仅考虑到膜间范德华力与静电力, Derjaguin-Landau-Verwey-Overbeek (DLVO)理论被用于定量地表征细胞膜间的相互作用(Soni et al. 2014, Howell et al. 2011, Ohshima 2011, Mazhab-Jafaria et al. 2015).作为描述胶体系统的稳定性问题的经典理论, 该理论由Derjaguin, Landau, Verwey和Overbeek提出并基于连续平均场理论给出了计算胶体质点间吸引力、排斥力的方法(Derjaguin & Landau 1941, Verwey & Overbeek 1948).通过对含有电解质CaCl\(_{2}\)和NaCl稀溶液中二棕榈酰磷脂酰甘油(DPPG)以及双十六烷基磷酸(DHP)双分子层间作用力的测量发现, 理论曲线与实验结果在膜间距大于3 nm时相当吻合, 证明了DLVO理论的可靠性(Marra 1986a, Claesson et al. 1989) (图3(a)). 但当膜间距小于3 nm时, 理论值与实验值之间存在明显偏差, 膜间出现了大于DLVO力的排斥力, 并在细胞膜间的相互作用中发挥主导作用(Claesson et al. 1989) (图3(b)). 进一步研究表明, 不带电的双分子层间仍然存在排斥力, 当双分子层带电后排斥力的作用反而会变弱, 这意味着此排斥力并非简单地源自于静电作用(Marra 1986b, Pashley et al. 1986, McIntosh, Magid & Simon 1990).

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图3   (a) 不同电解质溶液中固定DPPG双分子层间的DLVO力(Marra 1986), (b) NaCl电解质溶液中固定DHP双分子层间的作用力(Claesson et al. 1989)

   

研究者(Leikin et al. 1993, Rand & Parsegian 1989, Perera et al. 1996, Trokhymchuk et al. 1999)尝试利用由Langmuir提出的"水合力"理论来解释上述排斥力.研究者(Helm et al. 1992, McIntosh & Simon 1986, Clunie et al. 1967, Parsegian et al. 1979)利用表面力仪、渗透压等技术对表面活性剂、磷脂双分子层间的排斥力测量发现, 膜间距小于3 nm时, 膜表面单位面积上承受的短程排斥力\(P\)与膜间距\(c\)呈现指数衰减关系\[P = P_0 {\rm e}^{ - c / \lambda _0 } \ \ (1)\]其中, \(\lambda _{0}\)表示特征衰减长度, \(P_{0}\)为常数. 由于\(\lambda_{0 } \approx 0.2 \) nm接近水分子的尺寸, 此排斥力被认为源自水分子的有序排列或者结构效应, 并且反映了水分子的某些固有特性(图4). 然而其他研究表明, 此排斥力同样存在于其他液体中(McIntosh et al. 1989) (图5).后续更多的研究结果表明, 衰减长度\(\lambda _{0}\)应在\(0.1 \sim 0.6\) nm之间(Rand & Parsegian 1989, Lyle & Tiddy 1986, Marsh 1989). 区间范围大同时也意味着衰减长度\(\lambda_{0}\)不再对应于液体中某些特定关联长度. 此外, 与溶剂有序排列产生的力的特性不同, 实验发现此排斥力会随着温度的升高而增强 (Lis et al. 1982, Israelachvili 1985, Marra & Israelachvili 1985). 目前, 对膜间水合力的研究仍然活跃, 对于水合力的作用机制仍存在争论(Kandu et al.2014, Parsegian & Zemb 2011).

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图4   利用表面力仪器和渗透压技术对(a)卵磷脂双分子层(Helm et al. 1992), (b)二棕榈酰基卵磷脂(DPPC) (McIntosh & Simon 1986)以及(c)表面活性剂层间短程排斥力的测量(Clunie et al. 1967)

   

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图5   卵磷脂双分子层在水、甲酰胺(formamide)以及1, 3-丙二醇(PDO)中的排斥压力(McIntosh et al. 1989)

   

2.2 排斥熵作用力

基于对该排斥力更加深入的研究, Israelachvili和Wennerström(1990, 1996)开创性地提出该表面间的排斥力实质上源自熵------表面基团由于热扰动发生分子尺度的突出、重叠进而引起渗透排斥.

在诸如表面活性剂、脂质双分子层以及细胞膜等结构中, 由热扰动引起的排斥力主要包括突出力、头基重叠力、蠕动力以及波动力(Israelachvili & Wennerström 1992, Pfeiffer et al. 1989) (图6).这些排斥力都源于膜结构自身的涨落引起的熵限制, 即空间位阻效应, 因此也被称为"空间位阻力". 其中, 突出力、头基重叠力主要源自烃链以及磷脂分子其他相关结构在分子尺度的热扰动(Barry & Dogic 2010, Sadoc & Rivier 2013). 对于蠕动力和波动力, 其主要由磷脂分子层的集体热运动引起, 可分别通过压缩模量与弯曲模量表征(Watson et al.2012, Hannezo et al. 2011).

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图6   四种不同类型的热涨落力(Israelachvili & Wennerström 1992, Pfeiffer et al. 1989)

   

定量分析表明, 对于不带电的膜结构, 当膜间距小于2 nm时, 相比于范德华力、波动力, 突出力和头基重叠力占据支配地位(Israelachvili & Wennerström 1992) (图7). 由上述相关分析可知, 实验测得的膜间距小于3 nm时的排斥力实际上是由突出力、头基重叠力决定的(Israelachvili & Wennerström 1992).正是由于膜结构自身的热扰动以及头基在分子尺度粗糙度的凸显, 使得膜间难以形成有序结构水分子层, 任何振荡力都会被抹平而仅保留单调力(图4和图5).

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图7   卵磷脂在温度\(T = 25^\circ\)C 时, 突出力、头基重叠力、蠕动力、波动力以及范德华力的理论计算值, 阴影部分表示实验测得的卵磷脂双分子层间排斥力的极限(Israelachvili & Wennerström 1992)

   

3 波动力

相比于4种空间位阻力中的其他3种作用力, 波动力的显著特征在于它的作用范围最长, 属于长程力, 并且其大小可与范德华力相匹敌(Israelachvili & McGuiggan 1988, Li & Song 2017). 因此, 波动力得到了更广泛的关注. 通常情况下, 细胞膜易发生弯曲. 在室温条件下弹性弯曲消耗的能量很低, 它们如同风中的旗帜一样波动、涨落. 单片膜可以自由波动, 然而, 当两个膜相互彼此靠近时, 它们会相互阻碍对方的涨落、降低系统的熵, 使细胞膜系统的自由能趋于增大, 从而产生了排斥波动力以保持细胞膜间的平均距离(Sharma 2013).

3.1 Helfirch的波动理论

波动力的概念首先由Helfrich于1978年提出(Helfrich 1978). 基于一系列物理论证, Helfrich首次给出了膜间波动力\(f\)与膜间平均距离\(c\)的关系式(Helfrich 1978)\[f = \dfrac{3\pi ^2(k_{\rm B} T)^2}{64\kappa c^3} \ \ (2)\]其中, \(k_{\rm B}\)与\(\kappa \)分别表示玻尔兹曼常数、细胞膜弯曲刚度.由式(2)可以看出波动力与膜间平均距离的三次方成反比. 值得注意的是, 波动力与标准范德华力(或无阻滞范德华力)形式相似, 但符号相反.在很多情况下, 尤其对于双层膜系统, 二者大小也相近(Helfrich & Servuss 1984, Mutz & Helfrich 1990). 需要指出的是, 弯曲模量\(\kappa \)和波动力易受到诸多因素影响, 例如荷电膜通常具有更大的弯曲模量(Dimova 2014); 当温度降低至双层膜的液--固转变温度或者解链温度时, \(\kappa\)同样会明显升高(Mecke et al. 2003). 此外, 细胞膜在张力作用下, 其波动及引起的波动力均会受到抑制, 从而增大了膜间吸附能(Servuss & Helfrich 1989) (图8). 相比之下, 范德华力则不受上述溶液或体系条件改变的影响(Israelachvili 2011).

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图8   利用表面力仪器测得的(i)无应力、整体亲水以及(ii)受力、部分疏水的双分子层间的范德华力、空间水合力、疏水力(Leckband 和 Israelachvili 2001)

   

在波动力提出后, 大量学者从理论、实验、计算机模拟等方面对其进行了广泛的研究, 已有大量的研究结果直接支持Helfrich的结论(图9).其中, 根据接触值定理(contact value theorem)、变分微扰理论(variational perturbation theory)得到的理论分析结果, 定性地证明了Helfrich结论的正确性(Peliti & Leibler 1985; Kastening 2002, 2006). 作为实验验证, 利用同步辐射X射线散射的方法对表面活性剂(十二烷基硫酸钠(SDS))层间的波动力进行了测量, 实验结果证实了膜间距在\(3.8 \sim16.3\) nm范围内Helfrich方程(式(2))中波动力\(f\)与\(c^{3}\)成反比的关系, 并拟合得到表面活性剂的弯曲模量\(\kappa \approx k_{\rm B}T \)(Safinya et al. 1986). 此外, 利用渗透压技术对膜间距在\(9 \sim25\) nm范围内的表面活性剂层间波动力的测量结果, 一方面证实了波动力为长程力这一特性, 更重要的是验证了Helfrich结论的正确性(Bagger-Jörgensen & Olsson 1996). 相比于上述间接测量方法, 由表面力仪器、核磁共振波谱仪直接测得的\(f\)--\(c\)关系同样与理论分析一致(Abillon & Perez 1990, Bulut et al. 2010). 在计算机模拟研究方面, 基于Monte Carlo法, 研究者(Janke & Kleinert 1986, Net & Lipowsky 1995, West & Schmid 2010, Tarazona et al. 2013)同样发现波动力\(f\)与细胞膜平均间距\(c\)呈现\(f \sim c^{ -3}\)的关系(图9(c)和图9(d)). 鉴于此, Helfrich的波动力理论已被用于解释和理解大量与膜间相互作用相关的现象.

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图9   实验与计算机模拟结果对Helfrich理论的验证. (a), (b)表示分别基于渗透压技术(Bagger-Jörgensen & Olsson 1996)、核磁共振波谱仪(Bulut et al. 2010)获取的渗透压\(\Pi\)随生物膜体积分数\(\phi \)的变化曲线; (c), (d)表示针对多层膜(Janke & Kleinert 1986)、单层膜系统(Net & Lipowsky 1995)运用Monte Carlo方法获得的波动熵压\(p\)随膜间平均间距\(c\)的变化曲线(图中所示直线都是基于Helfrich理论得到)

   

3.2 Freund的波动理论

自Helfrich的波动力理论提出已将近40年, 但研究学者并没有停止对该领域的研究. 2013年, Freund(2013a)基于经典统计力学理论对波动力重新进行了深入地探讨与研究, 得到如下关系式 \[ f = \sqrt {\dfrac{2}{\pi }} \dfrac{\exp \left({ - {c_{rs}^2 }\Big/ {2\sigma _{rs}^2 }} \right)}{\sigma _{rs}{\rm erf}\left( {{c_{rs} } \Big/ {\sqrt 2 \sigma _{rs} }}\right)},\qquad r,s = 1,2,\cdots,n \ \ (3) \]其中, \(n\)表示波数, \(\sum \limits_{r,s = 1}^n {c_{rs} = c} \), \(\sigma _{rs} = \dfrac{n}{2\pi ^2\sqrt \kappa \left( {r^2 + s^2}\right)}\). 与原有结论不同, 分析结果显示在很大的膜间距范围内, 波动力\(f\)与细胞膜间平均距离\(c\)将呈现\(f \sim c^{ -1}\)的变化规律(图10).该理论一经发表便引起了学术界对此问题的激烈争论(Wennerström et al. 2013; Freund 2012, 2013b; Sharma 2013; Auth & Gompper 2013; Hanlumyuang et al. 2013; Wennerström & Olsson 2014).随后大量学者对波动力与细胞膜间平均距离的定性关系进行了细致的分析, 并讨论了上述两种理论的差异.基于接触值定理、经典统计力学理论对波动力与细胞膜间平均间距关系的研究结果显示, 波动力并不像之前认为的那样长程(Auth & Gompper 2013, Hanlumyuang et al.2013) (图11). 当膜间距比较小时, 波动力与膜间平均距离之间的关系满足\(f \sim 1 / ({ca}^{2})\), 由此得出\(f\)与\(c\)成反比的结论, 其中, \(a\)表示Monte Carlo计算机模拟过程中离散单元的边长; 当膜间距较大时, Helfrich的结论依旧成立, 即\(f \sim 1 / c^{3}\), 进而得到幂律关系的转变距离\(c_{\rm tran } \approx a(k_{\rm B}T /\kappa)^{1 / 2}\), 此结果意味着膜间波动力的大小及其相关特性很大程度上依赖于计算机模拟过程中的预设参数\(a\), 显然, \(a\)在\(f \)--\(c\)幂律关系中所发挥的作用被忽略; 随着膜间距继续增大, 关于\(f \)--\(c\)的具体关系尚未定论, Auth和Gompper(2013)指出, 当\(c > 0.4L(k_{\rm B}T / \kappa )^{1 / 2}\)时, 整片细胞膜会如同一个软球粒子上下运动, 使得在此膜间距范围内\(f\)与\(c\)成反比关系, 然而, Hanlumyuang等(2013)发现, 波动力\(f\)随膜间平均距离\(c\)的继续增大会呈现指数衰减的变化规律: \(f\sim 1 / (-\eta c)\), 其中, 幂指数\(\eta \)尚未确定.

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图10   膜间距较小时, 关于波动力\(f\)与细胞膜间平均间距\(c\)关系的理论分析结果. 其中, 虚线表示\(f \sim c^{ - 1}\)关系的近似解(Freund 2013a)

   

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图11   关于波动力与细胞膜间平均间距关系的计算机模拟结果. (a)Auth 和 Gompper (2013), (b) Hanlumyuang等 (2013)

   

3.3 Helfrich与Freund波动理论的差异性

在多层膜系统中, 每层膜与相邻膜间的平均距离相同, 并且平行于同一平面; 如果系统中膜的层数巨大, 远离多层膜系统两端的单层膜的行为相对于其参考平面将呈现反射对称性, 而且相毗邻的上下两层膜的行为相对于处在这两层膜中间的参考平面同样会呈现反射对称性(Freund 2014). 根据上述反射对称性, 可将如图12所示的等效模型代替多层膜系统用于理论研究. 在此等效模型中, 仅需考虑受限于两刚性板的单片"代表性"的细胞膜. Helfrich (1978)与Freund(2013a)均采用上述多层膜系统的简化模型对膜间波动力进行理论分析.

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图12   多层膜系统的等效模型

   

在Helfrich的理论分析过程中, 整片细胞膜被划分为许多彼此相互独立运动的小正方形单元.进一步将这些小单元的运动类比于理想气体分子的运动, 并假设每个小单元的面积正比于膜间距的平方, 在此基础之上, 得出细胞膜间的波动力与膜间平均距离的三次方成反比的结论. 此外, Helfrich (1978)考虑到逐点约束条件在问题分析过程中的难度, 进而采用了一种弱约束边界条件: \(\langle h(x,y)^{2}\rangle \leq c^{2}\). 即, Helfrich (1978)对约束条件作了平均化处理, 而并非逐点约束. 同时, Helfrich (1978)认为, 当波长小于一定值时, 单元的波动会消耗很大能量, 因此几乎不会影响细胞膜间的相互作用.每个小单元相互独立地波动、涨落的假设也已经根植于该理念当中. 然而, 关于小单元的面积与膜间距有关的假设, 其合理性与正确性更加难于验证.

与Helfrich研究的出发点不同, Freund(2013a)在研究之初就摒弃了上述假设. 在Freund的研究工作中, 细胞膜组成单元的数量、面积与膜间距无关, 而且组成单元并非相互独立地运动, Freund (2013a)认为, 细胞膜是作为一个整体来应对外部扰动的. 同时, 组成单元实际的波动振幅的统计分布由最小自由能原理决定. Freund(2013a)通过理论推导, 最终得到了一组只能进行数值计算的方程组.当膜间距足够小时, 该方程组可以简化为渐近表达式: \(f\sim n^{2 }/ c\), 并由此得出膜间波动力与膜间距成反比的结论, 其中, \(n^{2}\)表示系统的自由度数目. 如果细胞膜具有周期性边界条件, 且边长为\(L\), 则\(n\)可以表示为 \(n =L /\lambda \). \(\lambda\)作为归一化长度具有明确的物理意义, 表示细胞膜波动对应的最小波长, 由于该尺度大于分子尺度, 使得宏微观分析以及经典统计力学分析具有合理性. 此外, Freund(2013a)给出的渐近表达式的显著特征在于膜间波动熵压\(f /n^{2} \sim 1/c\)与细胞膜自身大小无关, 此结论正是周期性波动问题所期望的结果.需要指出的是, 在Freund理论推导过程中虽然采用了逐点约束, 但约束边界条件过强. 另外, 为了便于分析处理, Freund (2012)利用抛物线形势井来描述刚性板对细胞膜的约束(图13), 并对同一问题进行了分析, 研究结果从侧面验证了基于硬壁势边界条件得到的结论. 在早期的研究中, 由于短波耗能大、波长小, 一般认为, 长波才是膜间波动力的主要贡献者.然而, Freund (2012)的研究结果表明, 波动力对波长、波数存在强烈的依赖性, 随着波数的增大和波长的减小, 细胞膜间波动力逐渐增大(图14).

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图13   硬壁势(Hard)与抛物线形势(Soft)的示意图

   

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图14   波数\(n\)对细胞膜间波动力的影响(Freund 2012)

   

检验理论分析结果的正确性是采用实验验证. 然而, 设计用于研究波动力的实验并非易事. 如前所述, 已经有实验结果对Helfrich的理论进行了验证. Freund认为, 在上述实验的测量范围内波动力\(f\)与膜间平均距离\(c\)呈现的\(f \sim 1 /c\)或者\(f \sim 1 / c^{3}\)关系都在误差范围内.Freund提出重新审视已被广泛研究的膜间波动力的理念必定催生相关实验, 并用于验证其理论. 目前, 关于Freund提出的波动力理论的具体物理含义尚不清楚.

3.4 近期波动力的理论

Li 和Song (2016)基于弹性力学、统计力学理论, 采用如图12所示的多层膜系统的等效模型对波动力进行了研究.通过对上述Helfrich与Freund波动理论的差异性分析, 在其理论研究过程中, 细胞膜作为整体应对外部扰动.不同于Freund、Helfrich理论分析过程中采用的或强、或弱的约束边界条件, Li 和Song (2016)借助Fourier变换获得了波动幅值\(h_{q}\)的上下限值, 使得细胞膜各点位移都满足约束边界条件: \(|h(x,y)| \leq c\). 其中, \(\pmb q\)表示细胞膜的波矢. 在此基础上, 首先推导得到波动力\(f\)与膜间平均距离\(c\)之间的普遍表达式\[ f =\dfrac{2(2k - 1)^2k_{\rm B} T}{\sqrt \pi c}\dfrac{\omega \exp\left( { - \omega ^2} \right)}{{\rm erf}\left( \omega \right)}, \qquad k = 1,2,\cdots \ \ (4)\] 其中, \(\omega = {2\sqrt {2\kappa / k_{\rm B} T} c}/L\). 首先, 通过将理论解与实验数据(Bulut et al. 2010)进行对比, 验证了结果的有效性(图15). 其次, 根据等式(4)对膜间波动力的性质进行了深入的探讨, Li 和Song(2016)严格证明了当膜间平均距离\(c\)足够小时, 在学术界引起巨大争议的两种关于\(f\)--\( c\)关系的理论在本质上的一致性.更确切地说, 当细胞膜热扰动波的波数较大时, 波动力与膜间平均距离呈现\(f \sim c^{ - 3}\)的关系, 而当细胞膜热扰动波的波数较小时, 波动力与膜间平均距离呈现\(f \sim c\)的关系, 即Helfrich与Freund的波动理论分别构成了由等式(4)所得结果的上限和下限(图16).该结论有助于结束关于波动力\(f\)与膜间平均距离\(c\)之间具体关系的争论.

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图15   理论结果与实验结果的比较

   

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图16   膜间平均距离足够小时, 波动力的上限值与下限值

   

最后, 通过分析所得到的波动力\(f\)与膜间平均距离\(c\)之间的普遍表达式, Li 和Song (2016)首次获得了波动力的作用力程\(c_{\rm crit}\).当膜间平均距离\(c\)大于该作用力程时, 波动力会迅速衰减为零, 其作用效果可以忽略不计(图17). 由图17还可以看出, 随着膜间距的增大, 波动力的衰减速度逐渐增大, 这与图11所示的计算机模拟结果不同(Auth & Gompper 2013, Hanlumyuang et al.2013). 上述结果将为波动力的后续研究工作提供新的见解.

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图17   波动力的力程, 其中, 插图为双对数坐标下的结果

   

4 总结与展望

细胞通过膜间存在的多种吸引力与排斥力调控着大量生物功能, 其中, 由细胞膜自身热扰动引起的波动力发挥了不可替代的作用. 鉴于其重要性, 波动力自被提出之日起便得到了持续、广泛的关注与研究, 并在近期引发了激烈的争论. 截至目前, 对于细胞膜间波动力随膜间平均距离变化的规律仍未达成共识.由于波动力不仅调控着众多的细胞进程, 还影响着大量结构的稳定性及其力学行为, 同时诸多实验结果的解释都基于膜间波动力定律, 因此亟需对波动力进行更为深入的研究. 在理论分析方面, 基于上述研究进展总结可以看出, 当前主要的波动理论在不同程度上存在着不足, 后续研究应尽量规避Helfrich研究过程中涉及的诸多假设, 借鉴Freund的分析理念, 集二者所长, 发展用于描述波动力随膜间距变化规律的理论模型, 为波动力的相关研究提供理论依据; 在计算机模拟方面, 现有研究主要基于离散化模型对膜间波动力进行分析, 而模型中涉及的离散单元长度对应的物理意义尚不明确, 其在波动规律中发挥的作用也鲜有讨论, 这也是今后的研究重点与方向; 在实验研究方面, 由于实验条件与实验材料的限制, 对膜间波动力的研究多数局限在膜间距大于3 nm的情况, 而当前关于波动规律争论主要集中在膜间距小于3 nm的范围内. 因此, 需要在提高实验设备测量分辨率及实验材料的制备、选取等方面作进一步研究, 以满足测量要求.

致谢：国家自然科学基金资助项目(11232013, 11472285).

The authors have declared that no competing interests exist.

作者已声明无竞争性利益关系。

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