如上所述,自稳定无人自行车已在近期内成功实现。上述不稳定性的分析结论已被实践彻底否定。实际上凭常识也能判断,自行车能否稳定的重要因素是驾车人的控制技巧。关键在于,控制规律是否真正体现人的驾车技术。本文仍采用相同的数学模型,仅对控制规律作一些修改,对自行车自稳定性问题继续做些探讨。
将自行车视为由车架、前叉和前后轮组成的刚体系。设$O_1$和$O_2$为后轮和前轮与地面的接触点,以$O_1$为原点建立参考坐标系($O_1$-$xyz$),其中$x$轴沿$O_1 O_2$,$y$轴为垂直轴。设绕轴逆时针转过$\theta$角后的位置为($O_1$-$x_1 y_1 z_1)$,$\left( {x_1 ,y_1 }\right)$为车架平面。设$O_1$与$O_2$的距离为$a$,质心$O_{\rm c}$的直立高度为$h$,在$x$轴上的投影与$O_1$的距离为$b$。设车架随$O_1$点以速度$v$沿$x$ 轴匀速平动(图\,1),前轮偏角$\psi$的出现使自行车转为曲线运动(图\,2)。图中$O$为曲率中心,$R = a/\psi $为曲率半径。近似将车体的全部质量$m$集中在$O_{\rm c}$ 点,仅保留$\theta$和$\varphi$的一次项,列写车体在重力$mg$和离心力${mv^2}/R$作用下绕水平轴$x$ 转动的动力学方程。引入参数$\alpha = {bv}/{ha}$, $\beta = {v^2}/{ga}$, $\gamma = g/h$,写作
列写前叉与前轮的组合件绕转轴转动的动力学方程时,为简化数学推导,仍按文献[4]中的假定将倾斜的前叉转轴$y^*$拉直,使与$O_1 O_2$正交。将($O_1$-$x_1 y_1 z_1$)的原点移至$O_2$,绕$y_1 $轴顺时针转过$\psi $角后的位置为($O_2$-$x_2 y_2 z_2$)。 其中$y_2$轴平行于前叉转轴$y^ * $,$x_2$轴沿轮缘在$O_2$点处的切线,$\left( {x_2 ,y_2 }\right)$为前叉的对称平面。考虑地面在$O_1$和$O_2$处对车体和前叉施加沿$z_1 $和$z_2$轴的摩擦力与离心力平衡。且考虑前叉转轴$y^*$与地面的交点$O^*$与$O_2$点不重合的距离$\varDelta$形成的脚轮效应(图\,3)。设车架与前叉之间存在绕转轴$y^*$ 的阻尼力矩
其中$C$为黏性摩擦系数。考虑控制系统的作用,将陀螺仪量测到的车体侧向倾斜角$\theta$和角速度$\dot {\theta}$的信息输入电机,产生绕前叉转轴的控制力矩$M_{\text{c}y} $,控制规律为
其中$J_y $为前叉连同前轮绕转轴$y^*$的惯量矩。引入参数$\mu ={mgb\varDelta }/({J_y a})$,$c = C/{J_y}$,列出前叉的动力学方程
图1
图2
图3
方程组(1), (4)的特征方程为
其中的系数定义为
利用Hurwitz判据判断线性系统的稳定性,所有系数为正值是方程组(1)和(4)零解渐近稳定的必要条件。此条件要求控制系数$k_1$和$k_2$满足
如$a_1 a_2 - a_3 > 0$条件也满足,即
则渐近稳定性充分成立。在$c \ne 0$,$k_2 \ne 0$条件下,借助控制系数$k_1$和$k_2$的调整可使上述诸条件均得到满足。从而证实无人自行车直立行驶状态存在渐进稳定性的可能性。
直立稳定性只是无人自行车的关键问题之一。要真正实现无人自行车,还必须攻克转弯、过障碍、跟踪等许多技术难关。清华大学的老师和学生们不畏艰难,坚持不懈,终于造出了无人驾驶自行车,震惊了世界,也开启了自行车发展史的新阶段。
参考文献
自稳定的无人自行车
Self-stable bicycle without rider
