力学与实践, 2021, 43(5): 766-770 DOI: 10.6052/1000-0879-20-463

教育研究

三线摆测刚体转动惯量:实验改进与教学体会

李华锋,*,2), 商宏学*, 王永

*浙江大学力学实验教学中心,杭州 310058

浙江大学航空航天学院,杭州 310027

THREE-WIRE PENDULUM TO MEASURE THE MOMENT OF INERTIA OF A RIGID BODY: EXPERIMENTAL IMPROVEMENT AND TEACHING EXPERIENCE

LI Huafeng,*,2), SHANG Hongxue*, WANG Yong

*Mechanics Experimental Teaching Center, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China

School of Aeronautics and Astronautics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China

通讯作者: 1)李华锋,副教授,主要研究方向为理论力学实验教学及相关教学改革和设备研制。E-mail:me_lhf@zju.edu.cn

责任编辑: 胡漫

收稿日期: 2020-11-2   修回日期: 2021-01-29  

Received: 2020-11-2   Revised: 2021-01-29  

作者简介 About authors

摘要

三线摆测量刚体转动惯量是工科大类基础力学实验教学中的重要一环。尽管该实验已经过多年的教学实践和改进,但学生的实验结果常不尽如人意,这极大地挫伤了其学习积极性。本文介绍浙江大学力学实验教学中心实验团队近年来对三线摆实验所做的诸多改进及教学体会,以期能起到抛砖引玉之功。

关键词: 三线摆; 转动惯量; 误差分析; 实验改进; 教学体会

Abstract

The measurement of the moment of inertia of a rigid body with a three-wire pendulum is an important part of the experimental teaching of basic mechanics for engineering majors. Although the experiment has been practiced and improved for many years, the results of the experiment are often not satisfactory, which greatly dampens students enthusiasm for learning. This article introduces improvements and teaching experience during recent years in the three-wire pendulum experiment from the experimental team of the Mechanics Experimental Teaching Center of Zhejiang University, aiming to inspiring more attracting ideas.

Keywords: three-wire pendulum; moment of inertia; error analysis; experimental improvement; teaching experience

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本文引用格式

李华锋, 商宏学, 王永. 三线摆测刚体转动惯量:实验改进与教学体会. 力学与实践, 2021, 43(5): 766-770 DOI:10.6052/1000-0879-20-463

LI Huafeng, SHANG Hongxue, WANG Yong. THREE-WIRE PENDULUM TO MEASURE THE MOMENT OF INERTIA OF A RIGID BODY: EXPERIMENTAL IMPROVEMENT AND TEACHING EXPERIENCE. MECHANICS IN ENGINEERING, 2021, 43(5): 766-770 DOI:10.6052/1000-0879-20-463

转动惯量是刚体(绕轴)转动惯性的度量。刚体的转动惯量在工业领域中意义重大:导弹、卫星、飞机及船舶的姿态调整,大型水轮机及小型旋转机械的结构设计等,均依赖于对转动惯量的精确测量。转动惯量概念在现代科技创新中也有广泛应用,如通过将平移惯性转化为转动惯性,或反之,将转动惯性转化为平移惯性,学者们设计了独特的"惯容"元件[1],该元件在结构被动减振领域前景光明。

无疑地,精准计算或测定刚体的转动惯量是极为重要的。对于规则的均匀物体,通过定义式,并结合平行轴定理、组合法和负体积法,可直接计算转动惯量。然而,一方面,均匀材料及结构的参数(如材料密度和结构尺寸等)不一定十分准确;另一方面,对于大多数工程构件,其结构形式及材料组分十分复杂,不可能应用上述计算方法。此时,将不得不诉诸于实验方法。实验方法主要包括落体法、复摆法和扭振法等[2]。其中,作为典型扭振法的三线摆测量法具有物理概念明确、操作简单、计算方便等优点。三线摆法在工业领域中被广泛采用,多年来也一直被列为工科大类基础力学实验教学的必备项目。浙江大学力学实验教学中心自2002年起就开设了三线摆实验。结合多年的教学经验,于2016--2017学年对实验装置进行了全面改进,又通过三年的教学实践,取得了良好的教学效果。

本文首先简述三线摆的测量原理、已有的误差分析和实验改进工作,之后详细介绍本实验团队对装置的诸多改进及教学过程中形成的心得体会。

1 三线摆测量原理和误差说明

三线摆测量转动惯量的测量原理是:三根等长线对称悬吊的物体由(较小的)初始扭转角释放后,发生扭转振动;扭转振动的频率(或周期)依赖于被悬吊物体的绕转轴的转动惯量;通过测量扭振周期即可计算被悬吊物的转动惯量。在推导过程中,忽略被悬吊物竖向平动动能的影响、引入摆线的小倾角假设以及小扭转角假设,可以导出转动惯量与各物理量和几何量的显式关系

$J=\dfrac{mRrg}{4\pi^{2}H}T^{2}$

式中,$J$为转动惯量,$m$为待测物质量,$R$和$r$分别为下圆盘和上圆盘的有效半径,$H$为上下圆盘的竖直距离,$T$为扭振周期。

由计算公式可知,影响测量精度的因素包括$m$ (待测物质量),$R,r$ (圆盘有效半径),$H$ (圆盘间的竖直距离)和$T$ (扭振周期)。这些量中的任何一个不准确都会引起计算误差。误差传递关系为[3]

$\hspace{-4mm}\dfrac{\Delta J}{J}=\dfrac{\dfrac{\left( {m+\Delta m} \right)\left( {R+\Delta R} \right)\left( {r+\Delta r} \right)g}{4\pi^{2}\left( {H+\Delta H} \right)}\left( {T+\Delta T} \right)^{2}}{\dfrac{mRrg}{4\pi ^{2}H}T^{2}}-\ \ \hspace{-4mm} 1=\dfrac{\Delta m}{m}+\dfrac{\Delta R}{R}+\dfrac{\Delta r}{r}+\dfrac{\Delta H}{H}+2\dfrac{\Delta T}{T}$

由此可见,$m$,$R$,$r$,$H$的贡献相同(系数均为1),而$T$的贡献最大(系数为2)。文献中对上下圆盘的竖直距离(或相应的线长$L$)选择和扭振周期$T$的测量进行了细致讨论:增加线长可减小竖直距离测量的相对误差[2,4],引入光电门可减小周期测量的相对误差[5]。上述公式中涉及较多测量量,文献[6]采用了标定法,即以标准刚体的转动惯量为基准去测量任一刚体的转动惯量,从而极大地提高了测量精度。

值得注意的是,转动惯量计算式(1)是有严格的成立条件的。整个推导过程中要求:无阻尼、圆盘面水平、小倾角和小扭转角、定轴转动、弦线无质量且不弯曲等。危害上述任一条件的测量最终给出的结果都是成问题的。文献[6]讨论了阻尼对测量结果的影响,并给出阻尼影响可以忽略的结论;文献[2]指出了阻尼的两种来源,并指出弦线的合理选择方法;文献[4]讨论了摆角对测量结果的影响,并给出了合适的摆角值。

2 实验改进和教学体会

根据实验中心多年的教学经验,对实验装置及实验过程进行了一系列改进,包括:使用光电门测量周期[5]、增加摆线竖直高度[2,4]、选择合适材质的摆线[2,6]、合理控制摆角[4]、实验前先标定[6]等。本节介绍对三线摆实验的改进和教学过程中的心得体会。

2.1 上下圆盘如何保持平行?

三线摆实验装置整体结构如图1所示,下圆盘A (也称为主圆盘)用于承载待测量物,上圆盘B用于悬挂摆线。下圆盘A需具有一定重量才能将柔线绷直,之前的圆盘或质量太轻、或悬线刚度过大,空载时无法绷直悬线,我们将原圆盘替换为重量约1.4 kg的钢质圆盘(直径190 mm,厚度7 mm),并使用较为柔软的悬线,保证空载时悬线完全绷直。

图1

图1   空载时悬线绷直


实验开始前先调整好下圆盘A和上圆盘B的水平度对于控制好实验结果的精度十分重要。首先需要调整的是上圆盘B:在制造过程中通过加工精度的控制,保证了上圆盘与底座的平行度,将小水平仪置于底座上,调整底座方盘下的三个旋钮,就可以调整上圆盘B的水平度(扫描图2二维码观看操作视频)。下圆盘A的水平度通过微调三根摆线的长度实现:将小水平仪置于下圆盘A上,微调功能通过在上圆盘B处摆线抽动位置设置微调旋钮实现(如图3所示),旋钮下侧的锁钮松开就能微调摆线长度,锁钮锁定就能固定线长(扫描图4二维码观看操作视频)。这种微调方式操作方便、效率高,不像之前的设备靠下圆盘A底部打结调整单线长度。

图2

图2   "三线摆"上圆盘调平视频


图3

图3   上圆盘处机构细节


图4

图4   "三线摆"下圆盘调平视频


2.2 如何整体调节摆线长度?

在教学实验中,需要比较不同摆线长度下测得的转动惯量的误差,这就需要能快速地整体调节摆线的长度,为此,我们设置了三轨旋钮整体粗调旋盘。旋盘加工了三道轨道绕线,摆线头卡在旋钮各自心部位置用微驻头螺栓锁定,如图3所示。三线伸缩各有各的轨道,操作方便且效率高,扫描图5二维码观看操作视频。在之前的装置中,三线搅在一起,影响了下圆盘A的水平度,调整起来费时、费力。

图5

图5   "三线摆"调节摆线长度视频


2.3 如何施加初始扭转角?

三线摆的扭振始于初始扭转角。通常是用双手给下圆盘A施加力偶矩,从而使下圆盘获得初始扭转角。然而,这种徒手操作很难精确控制,往往在施加了初始扭转角的同时,也使下圆盘A中心偏离了原垂线位置。从受力方面上看,这相当于双手的操作在引入力偶的同时($\Sigma M\ne 0$),也引入了一个侧向力($\Sigma F\ne 0$),力偶引起下圆盘A转动,而侧向力引起盘心位置侧移。释放后,三线摆同时发生扭转振动和摆动,这属于复合运动。此时,测得的周期明显增大,从而导致测量误差偏大。基于上述考虑,我们认为直接驱动下圆盘A做扭振是不可取的,需采用间接驱动方法。

我们的策略是驱动上圆盘B,通过转动上圆盘B,由等长的悬线间接驱动下圆盘A扭振。要使上圆盘B能轻松地左右转动,需要设置摩擦系数小的聚四氟圆板作过渡,为了控制上圆盘B只能小角度转动,设置了转动幅度控制的约束。由于上圆盘B的轴线受到一定的约束,因此这种驱动方式不会轻易引起下圆盘A中心的侧移,也就不会引起耦合的摆振。

2.4 如何测量扭振周期?

扭振不同于摆振,人眼观察周期个数(如30个周期),常容易多读或少读一个周期。之前采用秒表计周期时易产生误差,我们改用光电门扫描计算周期时间,这就要准确得多。在大圆盘外圆设置一根棒状挡光杆(扫过光电门60次为30个周期),就能很好地解决扭振周期测量问题,该方法简单、方便且准确。

2.5 如何选择合适的悬线长度?

之前的装置中,上下圆盘的垂直距离处于200 $\sim$ 550 mm左右,学生反映范围偏小。因此,我们设计两平行不锈钢杆总长1000 mm,悬线长度可以在300 $\sim$ 850 mm之间分档调节,从而验证转动惯量的测量结果。由于调整长度方便,试验时间大为缩减。注意,上下圆盘的竖直距离应包含上下圆盘的厚度,这是由于两圆盘厚度中间的摆线没有受约束(参与扭振),如未考虑这一厚度,将会导致转动惯量大约0.5%的误差。

3 改进效果

经过上述一系列改进,实验精度和实验效率都得到了显著提高。在近三年的实验中,我们规定测量误差(三组测量中至少有一组)必须小于1%,学生均能很好地完成实验。随机抽取50份改进前的实验报告和50份改进后的实验报告,每份实验报告三组测量相对误差,对改进前后各150组相对误差进行统计,结果如表1所示,相对误差的直方图如图6所示。此外,改进之后的实验效率也得到一定程度的提高,学生完成实验的平均时间从110分钟减少到100分钟。

表1   改进前后实验测量相对误差(百分比)统计结果对比

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图6

图6   改进前后实验测量相对误差直方图对比


总得来说,实验改进是较为成功的,教学效果和教学效率都得到了提高。学生普遍反映改进装置操作非常方便、测量非常准确。扫描图7二维码观看改进后进行实验的完整视频。

图7

图7   "三线摆"测量全过程视频


4 总结

本文介绍了浙江大学力学实验教学中心在总结多年的教学经验,并吸收借鉴同行相关经验的基础上,对"三线摆测刚体转动惯量"实验装置进行的改进及获得的教学体会。实验装置的改进使测量精度得到显著提高,对实验效率也有一定提升作用,实验教学的总体效果得到提升。当然,该实验目前仍有一些地方不尽完美,例如:如何更方便、准确地测量摆线的竖直高度;如何保证被测物体的质心更接近扭振中心,并保持稳定。这些都还有待进一步完善。

参考文献

Chen MZQ, Hu YL. Inerter and Its Application in Vibration Control Systems. Beijing: Springer and Science Press, 2019

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宋超, 潘钧俊, 叶郁文 .

用三线摆方法测试物体转动惯量的误差问题

力学与实践, 2003, 25(1):59-61

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Song Chao, Pan Junjun, Ye Yuwen, et al.

The error in measuring the moment of inertia using three-string pendulum

Mechanics in Engineering, 2003, 25(1):59-61 (in Chinese)

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董英伟.

三线摆测刚体的转动惯量问题讨论

天津职业技术师范学院学报, 2001, 11(3):35-37

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毕江林, 沈一鸣, 王威.

三线摆测量刚体转动惯量及其误差分析

科教文汇, 2013, 256:86-87

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姚志宏.

对用三线摆法测物体转动惯量方法的改进

南京师大学报(自然科学版), 1995, 18(4):162-164

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姚建安.

用三线摆测量转动惯量的研究

合肥工业大学学报(自然科学版), 1991, 14(4):74-79

[本文引用: 4]

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